Решение: Пуля массой 0,3 г, выпущенная из пневматической винтовки вертикально вверх, упала

Условие задачи:

Пуля массой 0,3 г, выпущенная из пневматической винтовки вертикально вверх, упала на землю спустя 11 с. Каково среднее давление воздуха на пулю внутри ствола, если его длина 45 см, а диаметр 4,5 мм?

Задача №2.1.65 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=0,3\) г, \(t=11\) с, \(L=45\) см, \(d=4,5\) мм, \(p-?\)

Решение задачи:

Среднее давление воздуха на пулю найдем из следующей простой формулы:

\[p = \frac{F}{S}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) — средняя сила, с которой воздух действует на пулю, пока она движется в стволе, \(S\) — площадь действия силы давления воздуха. Последняя равна площади проекции пули, то есть площади круга с диаметром, равным диаметру пули.

\[S = \frac{{\pi {d^2}}}{4}\;\;\;\;(2)\]

Силу \(F\) найдем благодаря теореме об изменении кинетической энергии — работа силы давления воздуха изменяет кинетическую энергию пули.

\[A = W_к\]

\[F \cdot L = \frac{{m\upsilon _0^2}}{2} — 0\]

Выразим силу давления \(F\):

\[F = \frac{{m\upsilon _0^2}}{{2L}}\;\;\;\;(3)\]

Запишем уравнение изменения скорости при прямолинейном равнозамедленном движении:

\[\upsilon = {\upsilon _0} — gt\]

Очевидно, что после вылета из винтовки пуля достигнет максимальной высоты своего полета через время, равное \(\frac{t}{2}\). На этой высоте скорость пулю станет равной нулю (\(\upsilon=0\)), поэтому:

\[\upsilon = 0 \Rightarrow {\upsilon _0} — g\frac{t}{2} = 0\]

\[{\upsilon _0} = \frac{{gt}}{2}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), полученное выражение вместе с (2) подставим в (1) — в итоге мы получим решение задачи в общем виде.

\[p = \frac{{m{g^2}{t^2} \cdot 4}}{{8L \cdot \pi {d^2}}} = \frac{{m{g^2}{t^2}}}{{2L\pi {d^2}}}\]

Перед подстановкой численных значений в итоговую формулу переведем некоторые из них в систему СИ.

\[0,3\; г = \frac{{0,3}}{{1000}}\; кг = 3 \cdot {10^{ — 4}}\; кг\]

\[45\; см = \frac{{45}}{{100}}\; м = 0,45\; м\]

\[4,5\; мм = \frac{{4,5}}{{1000}}\; м = 4,5 \cdot {10^{ — 3}}\; м\]

Только теперь можно посчитать ответ.

\[p = \frac{{3 \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot {{10}^2} \cdot {{11}^2}}}{{2 \cdot 0,45 \cdot 3,14 \cdot {{4,5}^2} \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 63432,1\; Па = 63,4\; кПа\]