Решение: Определить плотность шарообразной планеты, если вес тела на полюсе в 2 раза больше

Условие задачи:

Определить плотность шарообразной планеты, если вес тела на полюсе в 2 раза больше, чем на экваторе. Период вращения планеты вокруг своей оси 2 ч 40 мин.

Задача №2.5.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(P_п=2P_э\), \(T=2\; ч\; 40\; мин\), \(\rho-?\)

Решение задачи:

Тело на экваторе вращается вместе с планетой по окружности радиуса \(R\) (радиус планеты). Применим второй закон Ньютона:

\[mg — {N_э} = m{a_ц}\;\;\;\;(1)\]

Тело на полюсе лежит на оси вращения планеты, поэтому оно вращается лишь вокруг себя. Первый закон Ньютона для этого тела даст такое равенство:

\[mg = {N_п}\;\;\;\;(2)\]

По третьему закону Ньютона сила реакции опоры (\(N_э\) и \(N_п\)) равна весу тела (\(P_э\) и \(P_п\) соответственно). Учтите, что эти силы хоть и равны по величине, но противоположны по направлению и приложены к разным телам. С учетом этого запишем равенства (1) и (2) в такой системе:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_э} = mg — m{a_ц} \hfill \\
{P_п} = mg \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее. Так как \(P_п=2P_э\), то получим:

\[\frac{g}{{g — {a_ц}}} = 2\]

\[2g — 2{a_ц} = g\]

\[g = 2{a_ц}\;\;\;\;(3)\]

Поскольку в задаче нужно узнать среднюю плотность планеты \(\rho\), то запишем такие формулы: во-первых, формулу определения ускорения свободного падения \(g\) на поверхности планеты, во-вторых, формулу определения массы через плотность и объем, в-третьих, формулу определения объема шара.

\[g = G\frac{M}{{{R^2}}}\;\;\;\;(4)\]

\[M = \rho \cdot V\;\;\;\;(5)\]

\[V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\;\;\;\;(6)\]

Подставив (6) в (5), а полученное в (4), получим:

\[g = \frac{4}{3}\pi G\rho R\;\;\;\;(7)\]

Чтобы выразить центростремительное ускорение \(a_ц\) через период вращения планеты \(T\) запишем такие формулы: формулу определения ускорения \(a_ц\) через угловую скорость \(\omega\) и формулу связи последней с периодом вращения \(T\).

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

В итоге:

\[{a_ц} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}R\;\;\;\;(8)\]

Подставим выражения (7) и (8) в ранее полученное равенство (3):

\[\frac{4}{3}\pi G\rho R = \frac{{8{\pi ^2}}}{{{T^2}}}R\]

\[\rho = \frac{{6\pi }}{{G{T^2}}}\]

Переведем данный в условии период вращения \(T\) в систему СИ (в секунды):

\[T = 2\;ч\;40\;мин = 2 \cdot 3600 + 40 \cdot 60\; с = 9600\; с\]

Посчитаем ответ:

\[\rho = \frac{{6 \cdot 3,14}}{{6,67 \cdot {{10}^{ — 11}} \cdot {{9600}^2}}} = 3065\; кг/м^3 \approx 3,07\; г/см^3\]