Условие задачи:

Определить минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Её плотность $\rho=10^{17}$ кг/м³.

Задача №2.5.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\rho=10^{17}$ кг/м³, $T-?$

Решение задачи:

Так как в задаче спрашивается минимальный период обращения, значит спутник движется вблизи поверхности звезды. В общем случае период обращения можно определить по формуле:

$$T = \frac{{2\pi R}}{\upsilon }\;\;\;\;(1)$$

В этой формуле $R$ — это радиус орбиты (звезды), $\upsilon$ — это линейная скорость движения спутника.

Понятно, что сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение, поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

$${F_т} = m{a_ц}\;\;\;\;(2)$$

Центростремительное ускорение $a_ц$ определим через скорость спутника $\upsilon$ и радиус орбиты $R$ по формуле:

$${a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(3)$$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$${F_т} = G\frac{{Mm}}{{{R^2}}}$$

Масса звезды равна произведению её плотности на объем. Объем планеты найдем как объем шара:

$$M = \rho  \cdot V$$

$$V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$$

Поэтому:

$$M = \frac{4}{3}\pi {R^3}\rho$$

Значит сила тяготения зависит от плотности таким образом:

$${F_т} = \frac{4}{3}\pi G\frac{{\rho m{R^3}}}{{{R^2}}}$$

$${F_т} = \frac{4}{3}\pi G\rho mR\;\;\;\;(4)$$

Подставим выражения (3) и (4) в равенство (2):

$$\frac{4}{3}\pi G\rho mR = m\frac{{{\upsilon ^2}}}{R}$$

$$\frac{{{\upsilon ^2}}}{{{R^2}}} = \frac{4}{3}\pi G\rho$$

$$\frac{\upsilon }{R} = 2\sqrt {\frac{{\pi G\rho }}{3}}$$

Полученное нужно подставить в формулу определения периода (1).

$$T = \pi \sqrt {\frac{3}{{\pi G\rho }}}$$

Задача решена в общем виде. Считаем ответ:

$$T = 3,14\sqrt {\frac{3}{{3,14 \cdot 6,67 \cdot {{10}^{ — 11}} \cdot {{10}^{17}}}}}  = 1,19 \cdot {10^{ — 3}}\; с \approx 1,2\; мс$$

Ответ: 1,2 мс.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.5.18 Тело поднялось на высоту 1600 км над поверхностью Земли. На сколько процентов
2.5.20 Радиус Земли равен 6400 км. Какую скорость имеют точки земной поверхности на широте
2.5.21 На каком расстоянии от центра Земли (в долях радиуса Земли R) ускорение свободного