Условие задачи:

Небольшое тело скользит с вершины полусферы вниз. На какой высоте \(h\) от вершины полусферы тело оторвется от поверхности сферы радиусом \(R\)? Трением пренебречь.

Задача №2.8.47 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R\), \(h-?\)

Решение задачи:

Когда тело оторвется от полусферы, то сила реакции опоры \(N\) станет равной нулю. Допустим это произойдет в момент, когда прямая, соединяющая тело и центр полусферы (смотри схему), составляет с вертикалью угол \(\alpha\). Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось \(y\), которая совпадает с упомянутой прямой.

\[- mg \cdot \cos \alpha  + N = — m{a_ц}\]

Учитывая, что центростремительное ускорение \(a_ц\) равно \(\frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\), то:

\[mg \cdot \cos \alpha  — N = m\frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\]

Выше уже было сказано, что \(N=0\), поэтому:

\[mg \cdot \cos \alpha  = m\frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\]

\[{\upsilon ^2} = gR \cdot \cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

Так как трением можно пренебречь, то воспользуемся законом сохранения энергии:

\[mgR = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + mgR \cdot \cos \alpha \]

\[{\upsilon ^2} = 2gR\left( {1 — \cos \alpha } \right)\;\;\;\;(2)\]

Так как левые части в равенствах (1) и (2) равны, то приравняем их правые части:

\[gR \cdot \cos \alpha  = 2gR\left( {1 — \cos \alpha } \right)\]

\[\cos \alpha  = 2 — 2\cos \alpha \]

\[\cos \alpha  = \frac{2}{3}\]

Искомую высоту \(h\) можно найти по формуле (смотри схему):

\[h = R — R \cdot \cos \alpha  = R\left( {1 — \cos \alpha } \right)\]

\[h = R\left( {1 — \frac{2}{3}} \right) = \frac{R}{3}\]

Ответ: \(\frac{R}{3}\).

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.8.46 Колодец, имеющий глубину 5 м, площадь дна 0,5 м2, наполовину заполнен водой
2.8.48 Небольшое тело соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую
2.8.49 Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости, переходящей в мертвую