Решение: На тележку с песком массой 49 кг, движущуюся по прямой со скоростью 1 м/с, падает

Условие задачи:

На тележку с песком массой 49 кг, движущуюся по прямой со скоростью 1 м/с, падает с высоты 5 м кирпич массой 1 кг. Кирпич остается на тележке. Определить количество выделившейся теплоты.

Задача №2.10.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(M=49\) кг, \(\upsilon_0=1\) м/с, \(h=5\) м, \(m=1\) кг, \(Q-?\)

Решение задачи:

Вдоль оси \(x\) система «тележка — кирпич» замкнута. Применим закон сохранения импульса (ЗСИ) в проекции на ось \(x\):

\[M{\upsilon _0} = \left( {M + m} \right)u\]

Скорость тележки \(u\) после падения на неё кирпича равна:

\[u = \frac{{M{\upsilon _0}}}{{M + m}}\;\;\;\;(1)\]

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии (ЗСЭ). Так как удар кирпича о песок в тележке был абсолютно неупругим, то не стоит забывать о выделившейся теплоте \(Q\).

\[\frac{{M\upsilon _0^2}}{2} + mgh = \frac{{\left( {M + m} \right){u^2}}}{2} + Q\]

Оставив \(Q\) в правой части, перенесем в левую часть все остальные члены.

\[Q = \frac{{M\upsilon _0^2}}{2} + mgh — \frac{{\left( {M + m} \right){u^2}}}{2}\]

Подставим в последнюю формулу выражение (1), тогда:

\[Q = \frac{{M\upsilon _0^2}}{2} + mgh — \frac{{\left( {M + m} \right)}}{2} \cdot \frac{{{M^2}\upsilon _0^2}}{{{{\left( {M + m} \right)}^2}}}\]

\[Q = \frac{{M\upsilon _0^2}}{2} — \frac{{{M^2}\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}} + mgh\]

Приведем первый и второй член под общий знаменатель:

\[Q = \frac{{M\upsilon _0^2\left( {M + m} \right) — {M^2}\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}} + mgh\]

Раскроем скобки в получившемся числителе:

\[Q = \frac{{{M^2}\upsilon _0^2 + mM\upsilon _0^2 — {M^2}\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}} + mgh = \frac{{mM\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}} + mgh\]

В итоге получим решение этой задачи в общем виде:

\[Q = m\left( {\frac{{M\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}} + gh} \right)\]

Все данные задачи даны в системе СИ, считаем ответ:

\[Q = 1 \cdot \left( {\frac{{49 \cdot {1^2}}}{{2\left( {49 + 1} \right)}} + 10 \cdot 5} \right) = 50,49\; Дж = 0,05\; кДж\]