Решение: Искусственный спутник Земли движется на высоте 12800 км. Найти скорость движения

Условие задачи:

Искусственный спутник Земли движется на высоте 12800 км. Найти скорость движения спутника.

Задача №2.5.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(H=12800\) км, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

При движении спутника вокруг Земли по круговой орбите сила тяготения \(F_т\) сообщает ему центростремительное ускорение, поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

\[{F_т} = m{a_ц}\;\;\;\;(1)\]

Силу тяготения определяют по закону всемирного тяготения:

\[{F_т} = G\frac{{Mm}}{{{{\left( {R + H} \right)}^2}}}\;\;\;\;(2)\]

Если спутник движется с некоторой скоростью \(\upsilon\), то центростремительное ускорение равно:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{{R + H}}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1), тогда:

\[G\frac{{Mm}}{{{{\left( {R + H} \right)}^2}}} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{{R + H}}\]

Путем простых математических действий получим такое выражение для определения скорости спутника \(\upsilon\):

\[\upsilon = \sqrt {G\frac{M}{{R + H}}} \]

Можно считать ответ по этой формуле, но мы сделаем следующий трюк — дробь под корнем домножим и поделим на \(R^2\) (это можно делать благодаря основному свойству дроби), тогда:

\[\upsilon = \sqrt {G\frac{M}{{{R^2}}}\frac{{{R^2}}}{{R + H}}} \]

Заметим, то выражение \({G\frac{M}{{{R^2}}}}\) равно ускорению свободного падения \(g\) вблизи поверхности Земли (\(g=10\) м/с²). Значит:

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{g{R^2}}}{{R + H}}} \]

\[\upsilon = R\sqrt {\frac{g}{{R + H}}} \]

Переведем высоту орбиты спутника в систему СИ:

\[12800\; км = 12,8 \cdot {10^6}\; м\]

Посчитаем численный ответ (напомним, что радиус Земли — это табличная величина, равная 6,4·10⁶ м):

\[\upsilon = 6,4 \cdot {10^6} \cdot \sqrt {\frac{{9,8}}{{6,4 \cdot {{10}^6} + 12,8 \cdot {{10}^6}}}} = 4618,8\; м/с \approx 4,62\; км/с\]