Решение: Для откачки воды из шахты глубиной 20 м поставлен насос с двигателем мощностью

Условие задачи:

Для откачки воды из шахты глубиной 20 м поставлен насос с двигателем мощностью 4,5 кВт. Сколько кубометров воды можно поднять из шахты за 7 ч работы насоса, если КПД двигателя 80%?

Задача №2.8.27 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(h=20\) м, \(N=4,5\) кВт, \(t=7\) ч, \(\eta=80\)%, \(V-?\)

Решение задачи:

Так как в задаче идет речь об КПД двигателя насоса, то запишем формулу для определения КПД (в долях единицы):

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A_п\) — полезная работа двигателя, \(A_з\) — затраченная работа двигателя. Полезная работа двигателя заключается в увеличении потенциальной энергии воды:

\[{A_п} = mgh\]

Здесь нужно сделать пояснение — конец всасывающего шланга насоса располагается как раз на глубине, равной глубине шахты, то есть на дне. Поэтому каждая откачанная часть воды \(\Delta m\) обязательно пройдет по вертикали расстояние \(h\), изменив свою потенциальную энергию на величину \(\Delta mgh\). А значит и вся откачанная масса воды \(m\) изменит свою потенциальную энергию на величину \(mgh\). В этой задаче нельзя рассматривать объем воды через его центр масс.

Масса воды связана с объемом через плотность по формуле:

\[m = \rho V\]

Напомним, что плотность воды равна \(\rho=1000\; кг/м^3\).

Тогда выражение для полезной работы примет вид:

\[{A_п} = \rho Vgh\;\;\;\;(2)\]

Затраченную работу определим через формулу мощности двигателя насоса:

\[N = \frac{{{A_з}}}{t}\]

\[{A_з} = Nt\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в (1), из получившейся формулы выразим искомый объем воды \(V\).

\[\eta = \frac{{\rho Vgh}}{{Nt}}\]

\[V = \frac{{\eta Nt}}{{\rho gh}}\]

Время в формулу нужно подставлять в секундах, а КПД — в долях единицы. Покажем перевод этих единиц в систему СИ.