Условие задачи:

Брусок массой 3 кг находится на наклонной плоскости, составляющей угол 45° с горизонтом. Какую наименьшую горизонтальную силу следует приложить к бруску, чтобы он покоился, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,5?

Задача №2.3.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=3\) кг, \(\alpha=45^\circ\), \(\mu=0,5\), \(F-?\)

Решение задачи:

Нарисуем схему к задаче, на которой покажем систему координат. Брусок стремиться соскользнуть вниз по оси \(x\), значит сила трения покоя направлена против этой оси. Наверное и так понятно, что проекция силы тяжести на ось \(x\) больше максимальной силы трения покоя (она равна силе трения скольжения, но брусок ещё покоится), иначе бы вопрос задачи бы бы бессмысленным — брусок и так бы покоился. Проверьте это сами, это будет полезно.

Получается, что мы дополнительно прикладываем к бруску горизонтальную силу \(F\), проекция которой на ось \(x\) будет направлена против нее. Тогда по первому закону Ньютона:

\[mg \cdot \sin \alpha — F \cdot \cos \alpha — {F_{тр.п}} = 0\;\;\;\;(1)\]

Максимальная сила трения покоя определяется по формуле:

\[{F_{тр.п}} = \mu N\;\;\;\;(2)\]

Почему сила трения покоя должна быть максимальной? Это условие минимальности приложенной силы \(F\). Т.е. сила трения покоя должна принять своё максимальное значение, чтобы сила \(F\) была минимальной. Чтобы это увидеть явно, выразите из формулы (1) силу \(F\) — Вы заметите, что когда сила трения максимальна, сила \(F\) принимает минимальное значение.

Брусок вдоль оси \(y\) не движется, поэтому по первому закону Ньютона в проекции на эту ось:

\[N = mg \cdot \cos \alpha + F \cdot \sin \alpha \;\;\;\;(3)\]

Подставим (3) в (2), а полученное в (1), тогда имеем:

\[mg \cdot \sin \alpha — F \cdot \cos \alpha — \mu \left( {mg \cdot \cos \alpha + F \cdot \sin \alpha } \right) = 0\]

\[mg \cdot \sin \alpha — F \cdot \cos \alpha — \mu mg \cdot \cos \alpha — \mu F \cdot \sin \alpha = 0\]

\[mg\left( {\sin \alpha — \mu \cdot \cos \alpha } \right) = F\left( {\cos \alpha + \mu \cdot \sin \alpha } \right)\]

\[F = \frac{{mg\left( {\sin \alpha — \mu \cdot \cos \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + \mu \cdot \sin \alpha }}\]

В принципе мы решили задачу в общем виде, можно уже посчитать и численный ответ.

\[F = \frac{{3 \cdot 10 \cdot \left( {\sin 45^\circ — 0,5 \cdot \cos 45^\circ } \right)}}{{\cos 45^\circ + 0,5 \cdot \sin 45^\circ }} = 10\; Н\]

Это интересно! Если силу \(F\) увеличивать, то тело также останется в покое. Вообще, при увеличении \(F\) сила трения покоя сначала уменьшится до нуля, а далее сменит своё направление и будет увеличиваться. При этом её значение определяется первым законом Ньютона. Тело придет в движение, когда сила трения покоя опять примет максимальное значение. Получается, что существует целая совокупность значений силы \(F\), при прикладывании которой тело будет оставаться в покое.

Получается мы можем встретить задачу, в которой спрашивается о максимальном значении силы \(F\), при котором брусок будет оставаться в покое.

Ответ: 10 Н.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.3.10 С ледяной горки высотой 3 м и длиной основания 5 м съезжают санки, которые
2.3.12 Брусок сползает без начальной скорости с высоты 2 м по доске, наклоненной
2.3.13 Ледяная гора составляет с горизонтом угол 30 градусов, по ней снизу вверх пускают