Решение: Три однородных шара массой 1, 2 и 2 кг укреплены на легком стержне. Центр 2-ого шара

Условие задачи:

Три однородных шара массой 1, 2 и 2 кг укреплены на легком стержне. Центр 2-ого шара находится на расстоянии 50 см, центр 3-го – на расстоянии 150 см от центра 1-ого шара. На каком расстоянии от центра 1-ого шара находится центр тяжести всей системы?

Задача №3.1.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=1\) кг, \(m_2=2\) кг, \(m_3=2\) кг, \(x_2=50\) см, \(x_3=150\) см, \(l-?\)

Решение задачи:

Введем координатные оси, как показано на схеме. Вся схема симметрична относительно оси \(x\), поэтому координата \(y_{цт}\) равна нулю. В таком случае искомое расстояние \(l\) равна координате \(x_{цт}\) центра тяжести. Последнюю определяют по следующей формуле:

\[{x_{цт}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}g{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}g} }}\]

Здесь \(m_{i}\) – масса i-того шара, а \(x_{i}\) – координата центра тяжести i-того шара. Значит:

\[{x_{цт}} = \frac{{{m_1} \cdot g \cdot 0 + {m_2} \cdot g \cdot {x_2} + {m_3} \cdot g \cdot {x_3}}}{{{m_1} \cdot g + {m_2} \cdot g + {m_3} \cdot g}}\]

Сократив числитель и знаменатель на \(g\), получим:

\[{x_{цт}} = \frac{{{m_2} \cdot {x_2} + {m_3} \cdot {x_3}}}{{{m_1} + {m_2} + {m_3}}}\]

Переведем расстояния в систему СИ:

\[50\;см = \frac{{50}}{{100}}\;м = 0,5\;м\]

\[150\;см = \frac{{150}}{{100}}\;м = 1,5\;м\]

Считаем ответ:

\[{x_{цт}} = \frac{{2 \cdot 0,5 + 2 \cdot 1,5}}{{1 + 2 + 2}} = 0,8\;м\]