Решение: Шарик подвесили на упругой пружине и опустили в воду. Во сколько раз уменьшилось

Условие задачи:

Шарик подвесили на упругой пружине и опустили в воду. Во сколько раз уменьшилось удлинение пружины, если плотность шарика в три раза больше плотности воды?

Задача №3.3.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rho = 3 \rho_в\), \(\frac{x_1}{x_2}-?\)

Решение задачи:

В первом случае на шарик действуют сила тяжести \(mg\) и сила упругости \(kx_1\) (пружина растянута на величину \(x_1\)).

Когда шарик погрузят в воду, то на шарик начнёт действовать ещё и сила Архимеда \(F_А\), поэтому деформация пружины уменьшится до величины \(x_2\). На шарик теперь действуют сила тяжести \(mg\), сила упругости \(kx_2\) и сила Архимеда \(F_А\).

Шарик в обоих случаях находится в равновесии, запишем первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\):

\[\left\{ \begin{gathered}
k{x_1} – mg = 0 \hfill \\
k{x_2} + {F_А} – mg = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Перепишем в более удобный для нас вид, далее Вы увидите, зачем мы это сделали:

\[\left\{ \begin{gathered}
mg = k{x_1} \hfill \\
mg – {F_А} = k{x_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее равенство на нижнее:

\[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{mg}}{{mg – {F_А}}}\]

Массу представим как произведение плотности материала шарика \(\rho\) на полный объем \(V\), силу Архимеда \(F_А\) распишем по формуле-определению.

\[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{\rho Vg}}{{\rho Vg – {\rho _в}gV}}\]

\[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{\rho }{{\rho – {\rho _в}}}\]

По условию \(\rho = 3 \rho_в\), поэтому:

\[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{3{\rho _в}}}{{3{\rho _в} – {\rho _в}}} = 1,5\]