Условие задачи:
Лестница составляет с землей угол 70° и опирается о вертикальную гладкую стену. Найдите силу реакции, которая действует на лестницу со стороны земли, если человек массой 70 кг поднялся по лестнице на две трети её длины. Массой лестницы пренебречь.
Задача №3.1.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\alpha=70^\circ\), \(M=70\) кг, \(l=\frac{2L}{3}\), \(N_1-?\)
Решение задачи:
На лестницу действуют три силы: сила тяжести человека \(Mg\), сила реакции со стороны пола \(N_1\) и сила реакции со стороны стенки \(N_2\). Сила \(N_2\) направлена горизонтально, так как стенка гладкая, т.е. трение о стенку отсутствует, а сила \(N_1\) ориентирована под неизвестным углом \(\beta\) к горизонту.
Запишем первое условие равновесия (первый закон Ньютона) в проекции на обе оси координат:
\[\left\{ \begin{gathered}
{N_1} \cdot \sin \beta = Mg \hfill \\
{N_1} \cdot \cos \beta = {N_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Возведем оба равенства в квадрат и сложим, тогда:
\[N_1^2\left( {{{\sin }^2}\beta + {{\cos }^2}\beta } \right) = {M^2}{g^2} + N_2^2\]
Основное тригонометрическое тождество гласит, что \({\sin ^2}\beta + {\cos ^2}\beta = 1\), поэтому:
\[N_1^2 = {M^2}{g^2} + N_2^2\]
\[{N_1} = \sqrt {{M^2}{g^2} + N_2^2} \;\;\;\;(1)\]
Чтобы найти значение силы \(N_2\), запишем правило моментов (второе условие равновесия) относительно точки O.
\[Mg \cdot l \cdot \cos \alpha – {N_2} \cdot L \cdot \sin \alpha = 0\]
По условию \(l=\frac{2L}{3}\), тогда:
\[Mg \cdot \frac{{2L}}{3} \cdot \cos \alpha – {N_2} \cdot L \cdot \sin \alpha = 0\]
\[{N_2} = \frac{{2Mg}}{3} \cdot ctg\alpha \;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение (2) в формулу (1):
\[{N_1} = \sqrt {{M^2}{g^2} + \frac{{4{M^2}{g^2}}}{9} \cdot ct{g^2}\alpha } \]
В итоге окончательная формула выглядит так:
\[{N_1} = Mg\sqrt {1 + \frac{{4ct{g^2}\alpha }}{9}} \]
Произведем вычисление ответа:
\[{N_1} = 70 \cdot 10 \cdot \sqrt {1 + \frac{{4 \cdot ct{g^2}70^\circ }}{9}} = 720\;Н = 0,72\;кН\]
Ответ: 0,72 кН.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
3.1.23 Подъемное устройство состоит из однородного стержня длиной L=2,5 м и массой m=5 кг
3.1.25 Стержень длиной l и массой m одним концом упирается в вертикальную стенку
3.1.26 К вертикальной гладкой стене подвешен на тросе AB однородный шар массы M
Под силой реакции обычно понимается сила, перпендикулярная поверхности! Сила трения не входит в силу реакции. Вы грубо изменили базовые определения! Посмотрите классические школьные учебники (например, Мякишева). Не надо придумывать свои определения!
Автор имел в виду силу полной реакции опоры (обозначать её как \(N_1\) очень плохо, согласен).
Почему мы не находим силу F2?
Наверное Вы имеет в виду силу \(N_2\) – я её нашел, смотрите формулу (2)
Подскажите, пожалуйста, почему мы здесь уже не учитываем силу тяжести, действующую на лестницу? И когда нужно записывать условие равенства моментов сил?
Ау, условие задачи читаем внимательно!
А почему сила N1 ориентирована под неизвестным углом β к горизонту.?
Между нижним концом лестницы и землей точно есть трение (т.е. горизонтальная составляющая полной силы реакции N1). Почему? Потому что в противном случае сила N2 была бы нескомпенсирована.
Ну а раз есть сила трения, величину которой мы не знаем, значит полная сила реакции направлена не вертикально, а под каким-то неизвестным углом β.