Решение: Какова минимальная разница в массе воздуха зимой и летом при нормальном атмосферном

Условие задачи:

Какова минимальная разница в массе воздуха зимой и летом при нормальном атмосферном давлении для комнаты объемом 100 м³, если летом температура в помещении повышается до 30° C, а зимой падает до 5° C?

Задача №4.2.58 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=100\) м³, \(t_1=30^\circ\) C, \(t_2=5^\circ\) C, \(\Delta m-?\)

Решение задачи:

Давление в комнате в любое время года равно нормальному атмосферному давлению \(p\) (оно равно 100 кПа). При этом чем выше температура в комнате, тем меньше воздуха в ней содержится (это видно из нижеприведённых уравнений). Значит зимой воздуха в комнате больше, чем летом.

Пусть \(m\) – масса воздуха в комнате летом, а \(\Delta m\) – разница в массе воздуха летом и зимой.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для воздуха комнаты летом и зимой:

\[\left\{ \begin{gathered}
pV = \frac{m}{M}R{T_1} \;\;\;\;(1)\hfill \\
pV = \frac{{m + \Delta m}}{M}R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из уравнения (1) выразим массу воздуха в комнате летом \(m\):

\[m = \frac{{pVM}}{{R{T_1}}}\;\;\;\;(2)\]

Также, поскольку левые части уравнения равны, значит равны и правые:

\[m{T_1} = \left( {m + \Delta m} \right){T_2}\]

\[m + \Delta m = m\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\]

\[\Delta m = m\left( {\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} – 1} \right)\]

Учитывая формулу (2), в итоге получим:

\[\Delta m = \frac{{pVM}}{{R{T_1}}}\left( {\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} – 1} \right)\]

Молярная масса воздуха \(M\) равна 0,029 кг/моль, универсальная газовая постоянная \(R\) – 8,31 Дж/(моль·К). Переведём температуры в систему СИ: