Чему равно среднее расстояние между молекулами насыщенного водяного пара при

Условие задачи:

Чему равно среднее расстояние между молекулами насыщенного водяного пара при температуре 100° C?

Задача №4.1.65 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=100^\circ\) C, \(l-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачиРассмотрим водяной пар в некотором произвольном количестве, равном \(\nu\) моль. Чтобы определить объем \(V\), занимаемый данным количеством водяного пара, нужно воспользоваться уравнением Клапейрона-Менделеева:

\[pV = \nu RT\]

\[V = \frac{{\nu RT}}{p}\]

В этой формуле \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(моль·К). Давление насыщенного водяного пара \(p\) при температуре 100° C  равно 100 кПа, это известный факт, и его должен знать каждый учащийся.

Чтобы определить количество молекул водяного пара \(N\), воспользуемся следующей формулой:

\[N = \nu {N_А}\]

Здесь \(N_А\) – число Авогадро, равное 6,023·1023 1/моль.

Тогда на каждую молекулу приходится куб объема \(V_0\), очевидно определяемый по формуле:

\[{V_0} = \frac{V}{N}\]

\[{V_0} = \frac{{\nu RT}}{{p\nu {N_А}}} = \frac{{RT}}{{p{N_А}}}\]

Теперь посмотрите на схему к задаче. Каждая молекула условно находится в своем кубе, расстояние между двумя молекулами может меняться от 0 до \(2d\), где \(d\) – длина ребра куба. Среднее же расстояние \(l\) будет равно длине ребра куба \(d\):

\[l = d\]

Длину ребра \(d\) можно найти так:

\[d = \sqrt[3]{{{V_0}}}\]

В итоге получим такую формулу:

\[l = \sqrt[3]{{\frac{{RT}}{{p{N_А}}}}}\]

Переведем температуру в шкалу Кельвина и посчитаем ответ:

\[100^\circ\;C  = 373\;К\]

\[l = \sqrt[3]{{\frac{{8,31 \cdot 373}}{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 6,023 \cdot {{10}^{23}}}}}} = 3,72 \cdot {10^{ – 9}}\;м = 3,72\;нм\]

Ответ: 3,72 нм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.1.64 Какое количество вещества содержится в алюминиевой ложке массы 27 г? Относительная
4.1.66 Молекула двухатомного газа содержит 16 протонов и 16 нейтронов. Чем равна плотность
4.1.67 В сосуде вместимостью 4 м3 находится 4,8 кг идеального газа. Средняя квадратичная

Пожалуйста, поставьте оценку
( 2 оценки, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 10
  1. MAX

    На самом деле максимально возможное расстояние между молекулами – диагональ прямоугольного параллелепипеда сторонами d*2d*d – d*sqrt(6). Поэтому среднее расстояние – sqrt(1.5) (если точно, то sqrt(1.466) – с учётом вероятности попадания в каждую точку куба)

    1. Easyfizika (автор)

      Вы слишком доверились моему чертежу. Нарисуйте 9 таких кубиков и оцените в таком случае среднее расстояние.
      Как Вы перешли от максимального к среднему – я не понимаю, как оценили вероятность попадания в каждую точку куба – тоже (вроде как всё равновероятно, не?).

      1. MAX

        Вы правы. В этом случае лучше будет рассматривать шар диаметром d, и искать среднее расстояние в нём. Вероятность попадания молекулы в угол куба крайне мала.

  2. Сергей

    А если одна из молекул находится в правом верхнем углу кубика, а другая в левом нижнем углу другого кубика? Ведь в этом случае расстояние между ними (молекулами) не равно 2d?

    1. Easyfizika (автор)

      Верно, но в задаче спрашивают про среднее расстояние.
      Расстояние будет колебаться от 0 до 2d, т.е. в среднем будет равно d.

      1. Сергей

        А что такое среднее? Среднее арифметическое? Если так, то надо просуммировать все расстояния между всеми парами молекул и разделить на количество слагаемых. Тогда это решение неверное.

        И почему у Вас молекулы внутри кубика колеблются не по всему объему?

        1. Easyfizika (автор)

          Да, среднее арифметическое.
          Да, можно суммировать, и вы получите такое же среднее расстояние d, поскольку молекулы распределены равномерно (всё-таки мы подразумеваем, что флуктуаций молекул в выбранном объеме V нет). То есть если сделать “снимок”, то на каждую молекулу придется объем V0, равный V/N.

  3. Илья

    “расстояние между двумя молекулами может меняться от 0 до 2d”
    Почему вы так думаете ?

    1. Easyfizika (автор)

      Посмотрите на схему. Каждая молекула условно находится в своём кубе.
      Тогда максимальное расстояние между молекулами будет иметь место, когда молекулы “прижаты” к крайним граням изображенных двух кубов. Оно будет равно 2d. А минимальное – когда молекулы будут находиться у общей грани этих двух кубов. Оно уже равно 0.

      1. Илья

        Спасибо

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: