Решение: Баллон содержит газ при температуре 7 C и давлении 91,2 МПа. Каким будет давление

Условие задачи:

Баллон содержит газ при температуре 7° C и давлении 91,2 МПа. Каким будет давление, если из баллона выйдет 0,25 массы газа и при этом температура повысится до 27° C?

Задача №4.2.45 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_1=7^\circ\) C, \(p_1=91,2\) МПа, \(m_2=0,75m_1\), \(t_2=27^\circ\) C, \(p_2-?\)

Решение задачи:

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для момента, когда в баллоне находилась масса газа \(m_1\), и для момента, когда из него выпустят некоторую массу газа, и она станет равной \(m_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}V = \frac{{{m_1}}}{M}R{T_1} \hfill \\
{p_2}V = \frac{{{m_2}}}{M}R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подели нижнее уравнение на верхнее:

\[\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \frac{{{m_2}{T_2}}}{{{m_1}{T_1}}}\]

По условию из баллона выпустят 0,25 начальной массы, то есть справедливо отношение \(m_2=0,75m_1\), поэтому:

\[\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \frac{{0,75{m_1}{T_2}}}{{{m_1}{T_1}}} = 0,75\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\]

В итоге получим такую формулу:

\[{p_2} = 0,75{p_1}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\]

В условии задачи температуры даны в градусах Цельсия, их обязательно нужно перевести в Кельвины, поскольку именно в таком виде они фигурируют в уравнении Клапейрона-Менделеева:

\[7^\circ\;C = 280\;К\]

\[27^\circ\;C = 300\;К\]

Посчитаем ответ:

\[{p_2} = 0,75 \cdot 91,2 \cdot {10^6} \cdot \frac{{300}}{{280}} = 73,29\;МПа\]