Решение: Цилиндр радиуса R, расположенный вертикально, вращается вокруг своей оси

Условие задачи:

Цилиндр радиуса \(R\), расположенный вертикально, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью \(\omega\). На внутренней поверхности цилиндра находится небольшое тело, вращающееся вместе с цилиндром. Коэффициент трения между телом и поверхностью цилиндра равен \(\mu\). При какой минимальной угловой скорости вращения цилиндра тело еще не будет скользить вниз по поверхности цилиндра?

Задача №2.4.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R\), \(\mu\), \(\omega-?\)

Решение задачи:

На рассматриваемое тело действуют 3 силы: сила тяжести \(mg\), сила трения покоя (именно покоя, так как тело не скользит вниз) \(F_{тр.п}\) и сила реакции опоры \(N\). Первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\) даст такое равенство:

\[{F_{тр.п}} = mg\]

Поскольку требуется найти минимальную угловую скорость, при которой тело не скользит, то в этом случае сила трения покоя должна принимать свое максимальное значение. Известно, что её можно посчитать по формуле (как и для силы трения скольжения):

\[{F_{тр.п}} = \mu N\]

\[\mu N = mg\;\;\;\;(1)\]

Из второго закона Ньютона в проекции на ось \(x\) получим:

\[N = m{a_ц}\]

Запишем формулу определения центростремительного ускорения через угловую скорость \(\omega\) и радиус цилиндра \(R\):

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[N = m{\omega ^2}R\]

Полученное выражение для силы реакции опоры \(N\) подставим в (1), тогда:

\[\mu m{\omega ^2}R = mg\]

\[\omega = \sqrt {\frac{g}{{\mu R}}} \]

Задача решена в общем виде.