Тело массой 1 кг упруго ударяется о покоящееся тело массой 3 кг и летит обратно

Условие задачи:

Тело массой 1 кг упруго ударяется о покоящееся тело массой 3 кг и летит обратно. Найти долю потерянной при этом первым телом кинетической энергии.

Задача №2.9.1 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=1\) кг, \(M=3\) кг, \(\frac{E_2}{E_1}-?\)

Решение задачи:

Так как тела ударяются упруго, то потерянная первым телом кинетическая энергия равна кинетической энергии второго тела после удара. Поэтому искомое отношение можно записать в таком виде:

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{M{u^2} \cdot 2}}{{2 \cdot m{\upsilon_0 ^2}}} = \frac{{M{u^2}}}{{m{\upsilon_0 ^2}}} = \frac{M}{m}{\left( {\frac{u}{\upsilon_0 }} \right)^2} \;\;\;\;(1)\]

Теперь выполним классические для всех подобных задач действия: запишем закон сохранения импульса в проекции на ось \(x\) и закон сохранения энергии.

\[\left\{ \begin{gathered}
m{\upsilon _0} = – m\upsilon + Mu \;\;\;\;(2)\hfill \\
\frac{{m\upsilon _0^2}}{2} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{{M{u^2}}}{2} \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Равенство (2) запишем в виде:

\[m\left( {{\upsilon _0} + \upsilon } \right) = Mu\;\;\;\;(4)\]

В равенстве (3) домножим обе части на 2, далее перенесем все члены с \(m\) в левую часть и вынесем \(m\) за скобки:

\[m\left( {\upsilon _0^2 – {\upsilon ^2}} \right) = M{u^2}\]

Распишем разность квадратов в левой части этого равенства:

\[m\left( {{\upsilon _0} + \upsilon } \right)\left( {{\upsilon _0} – \upsilon } \right) = M{u^2}\]

Используя (4), получим:

\[Mu\left( {{\upsilon _0} – \upsilon } \right) = M{u^2}\]

\[u = {\upsilon _0} – \upsilon \;\;\;\;(5)\]

Откуда имеем:

\[\upsilon = {\upsilon _0} – u\]

Подставим это выражение в равенство (2), тогда получим:

\[m{\upsilon _0} = – m\left( {{\upsilon _0} – u} \right) + Mu\]

\[m{\upsilon _0} = – m{\upsilon _0} + mu + Mu\]

\[2m{\upsilon _0} = u\left( {M + m} \right)\]

Окончательно получим:

\[u = \frac{{2m{\upsilon _0}}}{{m + M}}\]

В итоге формула (1) примет вид:

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{M}{m}{\left( {\frac{{2m{\upsilon _0}}}{{{\upsilon _0}\left( {m + M} \right)}}} \right)^2} = \frac{M}{m}{\left( {\frac{{2m}}{{\left( {m + M} \right)}}} \right)^2}\]

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{4Mm}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}}\]

Остается только посчитать ответ к этой задаче:

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 1}}{{{{\left( {1 + 3} \right)}^2}}} = 0,75\]

Ответ: 0,75.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.8.53 Шарик на нити отклонили от вертикали на 60 градусов и отпустили без начальной
2.9.2 Шарик массой 100 г упал с высоты 2,5 м на горизонтальную плиту, масса которой
2.9.3 Во сколько раз уменьшится энергия нейтрона n при столкновении с ядром углерода C