Решение: Пуля массой 10 г застревает в первоначально покоящемся бруске, масса которого 0,1 кг

Условие задачи:

Пуля массой 10 г застревает в первоначально покоящемся бруске, масса которого 0,1 кг. Какая доля механической энергии потеряна при ударе?

Задача №2.10.23 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=10\) г, \(M=0,1\) кг, \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Понятно, что в данном случае имеет место абсолютно неупругий удар, поэтому при ударе некоторая часть первоначальной энергии перейдет в теплоту. Выделяемая теплота равна по величине потерянной механической энергии, поэтому в задаче нужно найти число, равное отношению:

\[\alpha = \frac{Q}{E}\]

Здесь \(E\) – начальная кинетическая энергия пули, поэтому:

\[\alpha = \frac{{2Q}}{{m\upsilon _0^2}}\;\;\;\;(1)\]

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось и закон сохранения энергии:

\[\left\{ \begin{gathered}
m{\upsilon _0} = \left( {m + M} \right)u \;\;\;\;(2)\hfill \\
\frac{{m\upsilon _0^2}}{2} = \frac{{\left( {m + M} \right){u^2}}}{2} + Q \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из равенства (2) выразим скорость бруска \(u\) после попадания пули:

\[u = \frac{{m{\upsilon _0}}}{{m + M}}\;\;\;\;(4)\]

Обе части же равенства (3) делим на \(\frac{{m\upsilon _0^2}}{2}\), тогда:

\[1 = \frac{{\left( {m + M} \right){u^2}}}{{m\upsilon _0^2}} + \frac{{2Q}}{{m\upsilon _0^2}}\]

Учитывая (1), получим:

\[1 = \frac{{\left( {m + M} \right){u^2}}}{{m\upsilon _0^2}} + \alpha \]

\[\alpha = 1 – \frac{{\left( {m + M} \right){u^2}}}{{m\upsilon _0^2}}\]

Подставим в последнее ранее полученное выражение (4):

\[\alpha = 1 – \frac{{\left( {m + M} \right){m^2}\upsilon _0^2}}{{m\upsilon _0^2 \cdot {{\left( {m + M} \right)}^2}}}\]

\[\alpha = 1 – \frac{m}{{m + M}}\]

Приведем под общий знаменатель:

\[\alpha = \frac{{m + M – m}}{{m + M}}\]