Мяч скатился с горы высотой 20 м и после короткого горизонтального участка упал

Условие задачи:

Мяч скатился с горы высотой 20 м и после короткого горизонтального участка упал в вертикальную шахту диаметром 2 м и глубиной 10 м. Сколько ударов о стенки шахты произойдет при движении мяча до дна, если удар абсолютно упругий и движение происходило в одной плоскости?

Задача №2.8.37 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(h=20\) м, \(D=2\) м, \(H=10\) м, \(N-?\)

Решение задачи:

Короткий горизонтальный участок после горы нужен для того, чтобы мяч в начальный момент падения имел скорость, направленную горизонтально. Определить эту начальную скорость несложно, достаточно применить закон сохранения энергии:

\[mgh = \frac{{m\upsilon _0^2}}{2}\]

\[{\upsilon _0} = \sqrt {2gh} \;\;\;\;(1)\]

Поскольку удары о стенки шахты будут упругими, то не нужно рассматривать движение мяча от одного удара к другому. Мысленно представим, что стенок у шахты нет, и мяч может свободно лететь в горизонтальном направлении. Тогда искомое количество ударов о стенки можно найти по формуле:

\[N = \frac{S}{D}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(S\) – расстояние, которое прошёл бы мяч по горизонтали, если бы стенок у шахты не было.

Запишем уравнения движения мяча вдоль осей координат:

\[\left\{ \begin{gathered}
ox:S = {\upsilon _0}t \;\;\;\;(3)\hfill \\
oy:H = \frac{{g{t^2}}}{2} \;\;\;\;(4)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из уравнения (4) найдем время падения мяча в шахту:

\[H = \frac{{g{t^2}}}{2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]

Подставим время падения и выражение (1) в формулу (3):

\[S = {\upsilon _0}t = \sqrt {2gh} \sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]

\[S = 2\sqrt {Hh} \]

Тогда итоговая формула (2) примет вид:

\[N = \frac{{2\sqrt {Hh} }}{D}\]

Посчитаем ответ:

\[N = \frac{{2\sqrt {10 \cdot 20} }}{2} = 14,14\]

Количество ударов о стенки не может быть дробным, нужно округлить его в меньшую сторону.

\[N = 14\]

Ответ: 14.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.8.36 Тело, брошенное с вышки высотой 10 м, упало на землю со скоростью 15 м/с
2.8.38 Пуля массой 9 г, летевшая вертикально вверх со скоростью 200 м/с, пробила
2.8.39 Горизонтально летящая пуля массой 10 г насквозь пробивает первоначально