Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг, укрепленную

Условие задачи:

Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг, укрепленную на пружине с коэффициентом жесткости 103 Н/м. Определите величину наибольшего сжатия пружины, если в момент неупругого удара груз обладал скоростью 5 м/с. Время удара ничтожно мало.

Задача №2.10.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=0,5\) кг, \(M=1\) кг, \(k=10^3\) Н/м, \(\upsilon_0=5\) м/с, \(x-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачиПеред нами очень интересная задача, которую выполнить правильно могут лишь единицы. Начнем с самого простого: допустив, что удар груза о плиту очень быстрый, запишем закон сохранения импульса для этого момента (смотри 3 и 4 на рисунке):

\[m{\upsilon _0} = \left( {M + m} \right)u\]

\[u = \frac{{m{\upsilon _0}}}{{M + m}}\;\;\;\;(1)\]

Далее, конечно же, запишем закон сохранения энергии (после неупругого удара, чтобы не учитывать тепло). Тут многие начинают ошибаться, и первая ошибка заключается в том, что многие думают, что пружина изначально недеформирована, хотя это не так (смотри 1 и 2 на рисунке). Запишем первый закон Ньютона для плиты и пружины, откуда и узнаем начальную деформацию пружины \(x_0\):

\[Mg = k{x_0}\]

\[{x_0} = \frac{{Mg}}{k}\;\;\;\;(2)\]

Вторая ошибка – почему-то решающие забывают про изменение потенциальной энергии тел в поле тяжести. С учётом всего сказанного, запишем ЗСЭ:

\[\frac{{\left( {M + m} \right){u^2}}}{2} + \frac{{kx_0^2}}{2} + \left( {M + m} \right)g\left( {x – {x_0}} \right) = \frac{{k{x^2}}}{2}\]

Учитывая (1) и (2), получим:

\[\frac{{\left( {M + m} \right)}}{2} \cdot \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{{{\left( {M + m} \right)}^2}}} + \frac{k}{2} \cdot \frac{{{M^2}{g^2}}}{{{k^2}}} + \left( {M + m} \right)gx – \left( {M + m} \right)g{x_0} = \frac{{k{x^2}}}{2}\]

\[\frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}} + \frac{{{M^2}{g^2}}}{{2k}} + \left( {M + m} \right)gx – \frac{{\left( {M + m} \right)M{g^2}}}{k} = \frac{{k{x^2}}}{2}\]

\[\frac{{k{x^2}}}{2} – \left( {M + m} \right)gx + \frac{{\left( {M + m} \right)M{g^2}}}{k} – \frac{{{M^2}{g^2}}}{{2k}} – \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}} = 0\]

Видно, что мы получили квадратное уравнение относительно \(x\). Чтобы решить его, найдем дискриминант \(D\).

\[D = {\left( {M + m} \right)^2}{g^2} – 4 \cdot \frac{k}{2}\left( {\frac{{\left( {M + m} \right)M{g^2}}}{k} – \frac{{{M^2}{g^2}}}{{2k}} – \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}}} \right)\]

Распишем квадрат суммы:

\[D = {M^2}{g^2} + 2mM{g^2} + {m^2}{g^2} – 2k\left( {\frac{{{M^2}{g^2}}}{k} + \frac{{mM{g^2}}}{k} – \frac{{{M^2}{g^2}}}{{2k}} – \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{2\left( {M + m} \right)}}} \right)\]

Раскроем скобки:

\[D = {M^2}{g^2} + 2mM{g^2} + {m^2}{g^2} – 2{M^2}{g^2} – 2mM{g^2} + {M^2}{g^2} + \frac{{{m^2}\upsilon _0^2k}}{{\left( {M + m} \right)}}\]

\[D = {m^2}{g^2} + \frac{{{m^2}\upsilon _0^2k}}{{\left( {M + m} \right)}}\]

Тогда:

\[x = \frac{{\left( {M + m} \right)g \pm m\sqrt {{g^2} + \frac{{\upsilon _0^2k}}{{\left( {M + m} \right)}}} }}{k}\]

\[x = \frac{{\left( {M + m} \right)g}}{k} \pm \frac{m}{k}\sqrt {{g^2} + \frac{{\upsilon _0^2k}}{{\left( {M + m} \right)}}} \]

Посчитаем ответ:

\[x = \frac{{\left( {1 + 0,5} \right) \cdot 10}}{{{{10}^3}}} \pm \frac{{0,5}}{{{{10}^3}}}\sqrt {{{10}^2} + \frac{{{5^2} \cdot {{10}^3}}}{{\left( {1 + 0,5} \right)}}} \]

\[\left[ \begin{gathered}
x = 0,08 \; м = 8 \; см \hfill \\
x = – 0,05 \; м\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Понятно, что второй корень не может быть решением этой задачи.

Представленное решение неоптимально: если решать с учетом того, что после удара будет происходить колебательный процесс, то в задаче можно было обойтись без решения квадратного уравнения, а только математическими преобразованиями. Да и члены итоговой формулы приобрели бы некий смысл.

Ответ: 8 см.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.10.7 Охотник стреляет с легкой надувной лодки, находящейся в покое. Какую скорость
2.10.9 Масса пушки 800 кг. Пушка выстреливает ядро массой 10 кг с начальной скоростью
2.10.10 На вагонетку массой 800 кг, катящуюся по горизонтальным рельсам со скоростью

Пожалуйста, поставьте оценку
( 16 оценок, среднее 4.94 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 13
  1. Мария

    Здравствуйте! Откуда в ЗСЭ появилось (M+m)g(x–x0)? Что это такое? Заранее спасибо.

  2. Аноним

    и всё-таки
    каков физический смысл Х_0 = – 5 см
    ??

  3. Аноним

    Уравнение (посте формулы (2)) записано на основе
    теоремы об изменении кинетической энергии.
    Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внешних сил.

    Раз это так, то об этом и надо говорить…
    На тело (M+m), имеющую кинетическую энергию (M+m) U^2 / 2 действуют ДВЕ (потенциальные) силы: сила со стороны пружины, сила со стороны Земли.

  4. Аноним

    “величина наибольшего сжатия пружины” от какого положения?
    от положения равновесия пружины и плиты в 1 кг?
    или
    от первоначальной длины пружины?
    Без рисунка это не понять… а если такое условие будет на экзамене, на ОГЭ, на ЕГЭ?
    :sad:

    1. Аноним

      старайтесь более четко формулировать задачу…
      :sad:

  5. Mikhail

    Физику изучал давно. Наверное, я ошибаюсь, но любопытно – почему.
    Итак, предположим, мы просто положили груз. Тогда
    (M+m)g(x-x0)=kx^2/2 – k(x0)^2/2
    Теперь, надо компенсировать кинетическую энергию груза
    m(v0)^2/2 + (M+m)g(x-x0)=kx^2/2 – k(x0)^2/2

    Спасибо,
    Михаил

    1. Easyfizika (автор)

      Рассуждения верные, но в последнем действии Вы учитываете кинетическую энергию груза до неупругого (!) удара, а нужно учесть кинетическую энергию груза с плитой после неупругого удара. Эти энергии не равны друг другу, поскольку часть начальной энергии груза пойдет на увеличение внутренней энергии тел в результате неупругого удара :smile:

      1. Mikhail

        Понял. Большое спасибо!!!
        Михаил

  6. Даниил

    А почему в финали решения квадратного уравнения,делитель” к”,а не 2к

    1. Даниил

      А всё увидел…там вверху к/2…можно это было пояснить написав: к2/2

    2. Easyfizika (автор)

      Рад, что Вы разобрались, ведь задача очень непростая

    3. Алмаз

      Тут же можно было намного легче решить задачу.
      Найти импульс двух тел после неупругого удара, найти их кинетическую энергию, а потом приравнять к энергии пружины kx²/2, и выразить х, не знаю зачем окольными путями огромными идти

      1. Easyfizika (автор)

        Легче, но неверно. Две ошибки, которые Вы при этом совершите, я описал в решении, его всего лишь нужно было прочитать, перед тем как писать комментарий.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: